Q.172 ☆3 [2018 早稲田(教育)] (1+ i/n)^nの実部をa_n, 虚部をb_nとする。lim[n→∞]a_n と lim[n→∞]b_n を求めよ。

Q.173 ☆2 [1997京都教育大] 任意の3以上の整数nに対して, n＜p＜n! を満たす素数pが存在することを証明せよ。 （ちなみに） n≧2のときに n＜p＜2nの範囲に素数pがあることも示されている（Bertrand-Chebyshevの定理） 類似の結果もいろいろ知られている en.m.wikipedia.org/wiki/Bertrand%…

Q.174 ☆7 [自作, DMO2nd 5] x.com/solove_math/st…

Q.176 ☆9 [suiso_728660様] ※一般にn個の場合は…？ x.com/solove_math/st…

匿名質問を募集しています！ 最近回答した質問例 ・素数の自然数乗で表される数を素数べき… querie.me/user/solove_ma…

Q.175 ☆10 [自作問題] x.com/solove_math/st…

Q.177 ☆10 [第4回 和田杯] θは実数とし, tanθが整数であるとする。 (tanθ)^m + cosnθ ÷ (cosθ)^n = 2016 を満たす正の整数m,nとtanθの組をすべて求めよ。

Q.178 ☆5 [京大オープン] 初項1, 公差24の等差数列を{a_n}とする。数列{√(a_n)} の項には 5以上の素数がすべて現れることを示せ。

Q.188 ☆1 [同値性] 記述における同値変形には十分注意が必要だ（なんつって）。次の同値性を示せ。 (1) x,y≧0のとき,x≧y⇔x^2≧y^2 (2)実数x,yに対し x^2≧y^2⇔|x|≧|y| 次の実数xの不等式を解け。同値変形 (3) √(x^2-4)≦x-3 (4) √(x^2-4)≦x-1

Q.189 ☆3 [2002 大阪大] 実数を係数とする三次方程式 x^3+ax^2+bx+c=0 が異なる3つの実数解を持つとする。a>0,b>0ならば,少なくとも2つの解は負であることを示せ。

Q.190 ☆4 [茨城大] 円周上に異なる定点A,Bがあり,円弧ABのうち短くないほうを点Cが動く。△ABCの内接円の中心Oはある円周の一部を動くことを示し, 内接円の半径が最大となるとき, AC=BCであることを証明せよ。 （これ知っとくとよさそう）

Q.191 ☆7◎ [自作問題] 三辺の長さが整数値である直角三角形Tの内接円の半径rは素数であるとする。 (1) Tの面積は偶数であることを示せ。 (2) Tの斜辺の長さが偶数のとき, rを求めよ。また, Tの各辺の長さを求めよ。

Q.192 ☆6 [自作(4th理1)] 座標平面の点A(1,1), B(-1,1)がある。点Pはx軸を動くとし,△ABPができるとき垂心をHとする。3点A,B,Hが鈍角三角形をなすHの軌跡L,及びLと曲線y=ax^2+bx+1が共有点を持つ実数の2組(a,b)の範囲を図示せよ。

Q.193 ☆6◎ [自作問題(4th理2)] xy平面の2曲線 C_1: x^2+y^2=1 C_2: y=kx^3（k＞0） の第1象限の交点をAとし, それぞれのAにおける接線をl,mとする。 l,mのなす角を最小にするkをとるとき, 第1象限においてC_1, C_2, y軸で囲まれる領域の面積を求めよ。 ※2018年大数3月号「読者と作るページ」に掲載

Q.194 [素因数分解] 次の数を素因数分解せよ。 (1) 2021 ☆1 (2) 27000001, ただし素因数は4つ. ☆4 [原題: HMMT 2005] (3) 142857142857142861, ただし素因数は4つ. ☆4(緑diff) [原題: OMC184C] (4) 1620080501 ☆? [AoPS(by dgkim)]

Q.195 ☆3◎ [自作] nを2以上の整数とする。n+1進法でn桁の数 1000…000 は, n進法で何桁か。

Q.196 ☆3 [平面分割] 座標平面上に,どの3本も1点を共有しないn本の直線がある。 (1)どの2本も平行でないとき,座標平面はこのn本の直線によっていくつの領域に分かれるか。 (2)n≧2として,平行な直線の組が一つだけある場合,座標平面はいくつの領域に分かれるか。

Q.197 ☆7◎ [自作問題(4th 理6)] 三角形Tの1つの辺の長さは平方数で, 残りの辺の長さは素数である。また,Tの面積は整数で,外接円の直径は素数である。Tの各辺の長さを求めよ。 ※自作問題の中ではかなり自信作です ※2018年大数3月号「読者と作るページ」に掲載

Q.198 ☆4 [有名問題] 一次以上の整数係数多項式P(x)とする。P(1)>0のとき,任意の正の整数nに対してP(n+P(1))-P(n)はP(1)の倍数であることを示せ。また, 任意の正の整数nに対してP(n)が素数であるようなP(x)は存在しないことを示せ。

Q.199 ☆6 [開成模試 文系] 座標平面上で半径1,原点Oを中心とする球面をS, 点(0,0,1)をAとする。平面pはベクトル(1,1,1)に垂直で,pとSの共有点の集合は円Cをなし,点Aを頂点としてCを底面とする円錐Tが存在する。Tの体積の最大値を求めよ。